Matematika: Pola dan Perubahan

Menemukan aturan di balik yang berulang dan yang berubah.

Kenapa kelas ini ada

Kelas ini untuk siapa saja yang baru mulai, sejak kira-kira umur sepuluh tahun sampai dewasa. Yang kamu butuhkan hanya tambah, kurang, kali, dan bagi.

Isi kelasnya

6 bab, 22 pelajaran. Kira-kira 5 jam kalau dijumlah, tapi tidak ada yang menyuruhmu menjumlahkannya.

Inti pola

Pola berulang punya bagian yang terus diulang. Kalau bagian itu sudah ketemu, benda ke berapa pun bisa ditentukan tanpa menggambar.

Kenapa pelajaran ini ada

Hari, jadwal, dan motif kain berulang dengan cara yang sama. Siapa yang melihat bagian ulangnya bisa melompat jauh ke depan.

Setelah ini kamu bisa

• Menemukan inti sebuah pola berulang
• Menentukan benda ke-20 atau ke-31 tanpa menggambar semuanya

Jalannya

1. 1 Lanjutkan polanya 2 menit
2. 2 Bagian yang diulang 4 menit
3. 3 Melompat jauh 4 menit

Hari keseratus

Nama hari berulang tiap tujuh hari. Dengan inti pola itu, hari apa pun bisa ditentukan tanpa membuka kalender.

Kenapa pelajaran ini ada

Janji seratus hari lagi, jadwal ronda, atau jam minum obat semuanya pola berulang. Menghitungnya dengan benar menghindarkan salah hari.

Setelah ini kamu bisa

• Menentukan hari untuk tanggal yang jauh dengan membagi tujuh
• Menghitung maju tanpa ikut menghitung hari ini

Jalannya

1. 1 Tujuh hari lagi 3 menit
2. 2 Tujuh hari sekali putaran 5 menit
3. 3 Pola yang lain 4 menit

Pola bilangan

Bilangan juga bisa berpola: bertambah tetap, berkurang tetap, atau berlipat. Aturannya ditulis dengan kata-kata.

Kenapa pelajaran ini ada

Tabungan mingguan, sisa stok, dan kabar yang menyebar punya pola bilangan. Aturannya menjelaskan apa yang terjadi berikutnya.

Setelah ini kamu bisa

• Melanjutkan barisan yang bertambah, berkurang, atau berlipat
• Menulis aturan barisan dengan kata-kata
• Menjelaskan kenapa beberapa suku saja belum cukup untuk memastikan aturannya

Jalannya

1. 1 Bilangan berikutnya 2 menit
2. 2 Aturan dengan kata 5 menit
3. 3 Aturan mana? 5 menit

Pola ubin

Pola yang tumbuh punya bagian yang tetap dan bagian yang bertambah. Melihat keduanya membuat langkah berikutnya mudah dihitung.

Kenapa pelajaran ini ada

Pagar yang diperpanjang, kursi yang ditambah di pesta, atau batu bata yang disusun tumbuh dengan cara yang sama. Siapa yang melihat bagian tetap dan bagian tumbuh bisa menghitung tanpa menggambar.

Setelah ini kamu bisa

• Menunjuk bagian yang tetap dan bagian yang bertambah di sebuah pola ubin
• Menghitung banyak ubin di langkah yang belum digambar

Jalannya

1. 1 Langkah keempat 3 menit
2. 2 Yang tetap dan yang bertambah 5 menit
3. 3 Dua cara menghitung 5 menit

Langkah keseratus

Menambah terus terlalu lama untuk langkah yang jauh. Bentuk polanya memberi aturan yang langsung sampai.

Kenapa pelajaran ini ada

Menghitung satu per satu sampai langkah keseratus melelahkan dan mudah salah. Aturan yang langsung sampai bekerja untuk langkah berapa pun.

Setelah ini kamu bisa

• Menghitung banyak ubin di langkah yang jauh tanpa menghitung satu per satu
• Menjelaskan kenapa langkah 20 bukan dua kali langkah 10

Jalannya

1. 1 Langkah kesepuluh 3 menit
2. 2 Aturan yang langsung sampai 6 menit
3. 3 Jebakan kali dua 5 menit

Aturan dengan huruf

Nomor langkah diganti satu huruf, n. Aturan jadi pendek, dan bisa diuji dengan langkah yang sudah diketahui.

Kenapa pelajaran ini ada

Aturan dengan huruf adalah awal aljabar. Satu baris pendek bisa mewakili seluruh pola, sampai langkah berapa pun.

Setelah ini kamu bisa

• Menulis aturan pola dengan huruf n sebagai nomor langkah
• Menguji aturan dengan langkah yang sudah diketahui
• Mengenali dua aturan berbeda bentuk yang memberi nilai sama

Jalannya

1. 1 Pakai aturannya 3 menit
2. 2 n adalah nomor langkah 6 menit
3. 3 Dua cara melihat 6 menit

Mundur dari aturan

Kadang yang diketahui banyak ubinnya, dan yang dicari langkahnya. Hitungan aturan dibalik dari belakang.

Kenapa pelajaran ini ada

Punya 100 ubin, cukup sampai langkah berapa? Pertanyaan seperti ini dijawab dengan membalik aturan, dan itulah inti menyelesaikan persamaan.

Setelah ini kamu bisa

• Menemukan nomor langkah dari banyak ubin dengan membalik hitungan
• Memeriksa apakah sebuah bilangan pernah muncul di pola
• Membaca tanda = sebagai sama nilainya

Jalannya

1. 1 Langkah ke berapa? 3 menit
2. 2 Membalik hitungan 6 menit
3. 3 Pernah muncul atau tidak 5 menit

Selisih atau kali lipat

Dua bilangan bisa dibandingkan dengan dua cara: berapa lebih banyak, atau berapa kali lipat. Masing-masing menjawab pertanyaan yang berbeda.

Kenapa pelajaran ini ada

Harga naik Rp10.000 dan harga naik dua kali lipat terdengar mirip, padahal artinya jauh berbeda. Memilih cara membandingkan yang tepat mencegah salah paham.

Setelah ini kamu bisa

• Membandingkan dua bilangan dengan selisih dan dengan kali lipat
• Memilih cara membandingkan yang cocok dengan situasinya

Jalannya

1. 1 Pak Pendek dan Pak Tinggi 3 menit
2. 2 Dua cara membandingkan 5 menit
3. 3 Cara mana yang cocok? 5 menit

Harga per satuan

Dua bungkus dengan isi berbeda tidak bisa dibandingkan dari harga totalnya. Hitung harga untuk satu satuan, lalu bandingkan.

Kenapa pelajaran ini ada

Di warung dan pasar, bungkus besar dan kecil dijual berdampingan. Harga per satuan menunjukkan mana yang benar-benar lebih hemat.

Setelah ini kamu bisa

• Menghitung harga untuk satu satuan dari harga sebungkus
• Membandingkan dua bungkus dengan harga per satuan

Jalannya

1. 1 Beras mana yang lebih murah? 3 menit
2. 2 Arti kata per 5 menit
3. 3 Membandingkan dengan adil 5 menit

Tabel perbandingan

Resep untuk 4 orang bisa diubah untuk 6 atau 10 orang. Tabel membantu: kali dua, bagi dua, atau jumlahkan dua baris.

Kenapa pelajaran ini ada

Memasak untuk tamu, membagi obat sesuai berat badan, atau mencampur semen. Semuanya menuntut takaran yang ikut membesar dengan benar.

Setelah ini kamu bisa

• Memperbesar dan memperkecil takaran dengan tabel
• Menjelaskan kenapa menambah angka yang sama di kedua kolom tidak benar

Jalannya

1. 1 Resep untuk 6 orang 3 menit
2. 2 Tiga gerakan di tabel 6 menit
3. 3 Pita ganda 5 menit

Senilai atau bukan

Dua hal yang sama-sama naik belum tentu senilai. Senilai berarti pengalinya selalu sama, dan nol berpasangan dengan nol.

Kenapa pelajaran ini ada

Ongkos ojek 4 km tidak dua kali ongkos 2 km. Mengenali mana yang senilai mencegah salah hitung saat merencanakan uang.

Setelah ini kamu bisa

• Memeriksa apakah dua besaran senilai dengan melihat pengalinya
• Menjelaskan kenapa sama-sama naik belum tentu senilai

Jalannya

1. 1 Ongkos ojek 3 menit
2. 2 Dua ciri senilai 6 menit
3. 3 Memilah 5 menit

Persen, per seratus

Persen artinya per seratus. Pita yang dibagi sama membuat 50%, 25%, dan 10% bisa dilihat, lalu digabung.

Kenapa pelajaran ini ada

Diskon, zakat, nilai ujian, dan baterai ponsel memakai persen. Memahami artinya membuat angka-angka itu bisa dihitung sendiri.

Setelah ini kamu bisa

• Menjelaskan persen sebagai per seratus
• Menghitung 50%, 25%, dan 10% dari sebuah jumlah dengan pita
• Membangun persen lain dari gabungan persen yang mudah

Jalannya

1. 1 Dari seratus kursi 2 menit
2. 2 Pita seratus persen 6 menit
3. 3 Menggabung persen 6 menit

Persen dari apa?

Setiap persen adalah persen dari sesuatu. Mengganti yang dijadikan seratus persen mengubah jawabannya.

Kenapa pelajaran ini ada

Berita, iklan, dan rapor penuh persen. Pertanyaan pertama yang selalu perlu diajukan: persen dari apa?

Setelah ini kamu bisa

• Menghitung berapa persen sebuah bagian dari keseluruhannya
• Menentukan apa yang dijadikan seratus persen
• Memahami persen yang lebih dari seratus

Jalannya

1. 1 Berapa persen? 3 menit
2. 2 Yang dijadikan seratus persen 6 menit
3. 3 Lebih dari seratus persen 5 menit

Diskon dan kenaikan

Diskon 20% berarti yang dibayar 80%. Diskon kedua dihitung dari harga yang sudah turun, jadi dua diskon tidak bisa dijumlah.

Kenapa pelajaran ini ada

Diskon 50% + 20% terdengar seperti 70%. Padahal bukan. Menghitungnya sendiri mencegah tertipu tulisan besar di toko.

Setelah ini kamu bisa

• Menghitung harga sesudah diskon dan sesudah kenaikan
• Menghitung dua diskon berurutan dengan benar
• Menjelaskan kenapa dua diskon tidak dijumlah

Jalannya

1. 1 Harga sesudah diskon 3 menit
2. 2 Yang dibayar adalah sisanya 5 menit
3. 3 Diskon bertumpuk 7 menit

Tabel dan aturan

Ongkos ojek punya biaya naik dan biaya tiap kilometer. Dari cerita, dibuat tabel. Dari tabel, ditulis aturannya.

Kenapa pelajaran ini ada

Tarif ojek, parkir, dan listrik memakai aturan yang sama: biaya awal ditambah biaya tiap satuan. Menulis aturannya membuat ongkos perjalanan mana pun bisa dihitung.

Setelah ini kamu bisa

• Mengubah cerita tarif menjadi tabel dan aturan
• Mencari tambahan tiap satu dari tabel yang lompat-lompat

Jalannya

1. 1 Ongkos lima kilometer 3 menit
2. 2 Dari cerita ke tabel 6 menit
3. 3 Tabel yang lompat-lompat 6 menit

Titik di grafik

Grafik punya dua sumbu. Setiap titik adalah pasangan dua bilangan, satu dari tiap sumbu.

Kenapa pelajaran ini ada

Tabel yang panjang sulit dilihat sekaligus. Grafik memperlihatkan semua pasangan dalam satu gambar, termasuk yang ada di antara baris tabel.

Setelah ini kamu bisa

• Membaca sebuah titik sebagai pasangan dua bilangan
• Meletakkan isi tabel sebagai titik di grafik
• Membaca nilai di antara titik-titik

Jalannya

1. 1 Membaca grafik 3 menit
2. 2 Titik adalah pasangan 6 menit
3. 3 Di antara titik 5 menit

Naik tiap satu

Garis yang lebih curam naik lebih banyak tiap satu langkah ke kanan. Garis yang lebih tinggi belum tentu yang lebih curam.

Kenapa pelajaran ini ada

Yang punya lebih banyak sekarang belum tentu yang bertambah lebih cepat. Grafik memperlihatkan keduanya, kalau tahu cara membacanya.

Setelah ini kamu bisa

• Membaca naik tiap satu dari sebuah garis
• Membedakan garis yang lebih tinggi dari garis yang lebih curam

Jalannya

1. 1 Dua tabungan 3 menit
2. 2 Curam dan tinggi 6 menit
3. 3 Membaca naik tiap satu 5 menit

Grafik bercerita

Grafik jarak dan waktu menceritakan sebuah perjalanan. Garis naik, datar, dan turun masing-masing punya arti.

Kenapa pelajaran ini ada

Grafik di berita dan aplikasi jarang punya rumus. Yang dibutuhkan adalah membaca ceritanya: kapan bertambah, kapan diam, kapan berkurang.

Setelah ini kamu bisa

• Membaca arti garis naik, datar, dan turun pada grafik jarak dan waktu
• Menyusun grafik dari sebuah cerita
• Menjelaskan kenapa grafik bukan gambar tempat kejadiannya

Jalannya

1. 1 Garis yang datar 3 menit
2. 2 Membaca cerita 6 menit
3. 3 Menyusun grafik 5 menit

Mengisi botol

Air dari keran yang sama naik cepat di bagian botol yang sempit, dan pelan di bagian yang lebar. Grafiknya ikut berbelok.

Kenapa pelajaran ini ada

Tidak semua perubahan terjadi dengan kecepatan tetap. Botol yang diisi air memperlihatkan dengan jelas kapan perubahan melambat dan kapan menjadi cepat.

Setelah ini kamu bisa

• Menjelaskan kenapa air naik lebih cepat di bagian botol yang sempit
• Menyusun grafik tinggi air untuk botol yang bentuknya berubah

Jalannya

1. 1 Sempit atau lebar? 3 menit
2. 2 Bentuk botol, bentuk grafik 5 menit
3. 3 Botol yang berubah bentuk 5 menit

Tambah tetap, kali tetap

Ada yang tumbuh dengan menambah angka yang sama. Ada yang tumbuh dengan mengali angka yang sama. Yang kedua jauh lebih cepat dari dugaan.

Kenapa pelajaran ini ada

Kabar yang diteruskan, harga yang naik tiap tahun, dan tumpukan kertas yang dilipat tumbuh dengan cara mengali. Orang dewasa pun sering meremehkan seberapa cepat pertumbuhan seperti ini.

Setelah ini kamu bisa

• Membedakan pertumbuhan tambah tetap dan kali tetap dari tabelnya
• Menjelaskan kenapa pertumbuhan kali tetap akhirnya menyusul tambah tetap

Jalannya

1. 1 Kertas yang dilipat 3 menit
2. 2 Dua cara tumbuh 6 menit
3. 3 Menguji tabel 5 menit

Kapan sama?

Yang mulai lebih banyak belum tentu tetap unggul. Tabel dan grafik menunjukkan kapan dua hal bernilai sama, dan siapa yang unggul sesudahnya.

Kenapa pelajaran ini ada

Paket yang murah di awal bisa jadi mahal kalau dipakai lama. Mencari kapan dua pilihan sama adalah cara memilih yang masuk akal.

Setelah ini kamu bisa

• Mencari kapan dua aturan bernilai sama dengan tabel dan grafik
• Membaca titik potong dua garis dengan benar

Jalannya

1. 1 Dua tabungan 3 menit
2. 2 Mencari dengan tabel 6 menit
3. 3 Mencari dengan grafik 6 menit

Pilihan yang masuk akal

Pelajaran penutup. Semua alat dipakai bersama untuk memilih: harga per satuan, aturan, grafik, dan persen.

Kenapa pelajaran ini ada

Di luar kelas, soal tidak datang dengan judul bab. Yang pertama harus diputuskan adalah alat mana yang cocok.

Setelah ini kamu bisa

• Memilih alat yang cocok untuk sebuah keputusan sehari-hari
• Memperkirakan dulu, menghitung, lalu memeriksa apakah jawabannya masuk akal

Jalannya

1. 1 Perkirakan dulu 3 menit
2. 2 Pilih alatnya 7 menit
3. 3 Putuskan 5 menit